질량 보존법칙
기체처럼 밀도 변화를 무시할 수 없는 압축성 유체 의 정상류에서 아래 그림과 같은 임의의 단면(A1이나 A2)을 통과하는 단위 시간당 흐르는 유량(질량유량)은 동일합니다.
단면 A 와 단면 B 를 단위 시간 당 흐르는 유량을 계산해 보겠습니다.
단위 시간을 Δt 라 하면, 흐른 거리는 속도 × 시간 이므로 U x Δt 가 됩니다.
따라서, 미세 시간 Δt 경과 후, 단면 A와 단면 B를 통과한 질량은
질량 = ρ × 체적 이므로
단면 A를 통과한 질량 = ρ1 × (A1 × U1ΔT)
단면 B를 통과한 질량 = ρ2 × (A2 × U2ΔT)
[단면 A를 통과한 질량] = [단면 B를 통과한 질량] 이므로, 그래서
ρ1 × (A1 × U1ΔT) = ρ2 × (A2 × U2ΔT)
ρ2 × A2 × U2 = ρ2 × A2 × U2
ρ: 밀도, A: 단면적, U: 속도
이것을 “질량 보존 법칙” 이라고 합니다.
또한 밀도가 일정하면, ρ1 = ρ2, 즉 비압축성 유체의 경우,
A1 × U1 = A2 × U2 가 됩니다.
이것을 “연속식” 이라고 합니다.
이 관계로부터, 단위 시간 당 흐르는 유체의 부피(부피 유량)가 일정하다면, 단면적이 클수록 유체의 유속은 느리고, 단면적이 작으면 유속이 빠른 것을 알 수 있습니다.
베루누이 정리
1738년 스위스의 물리학자인 다니엘・베르누이 씨 (Daniel Bernoulli)는, 베르누이의 정리를 발견했습니다. 베르누이의 정리는 다음의 식과 같습니다.
이 식을 간단하게 설명하면,
“유체의 속도가 증가하면 압력이 내려가는 것”을 나타냅니다.
이것을 가까운 예로 설명하겠습니다. 예를 들면, A4 용지를 그림과 같이 들고, 숨을 내쉬면, 어느 쪽으로 용지가 이동할까요. 불었기 때문에 바람에 밀려 왼쪽으로 이동할 것 같습니다만, 분 쪽으로 이동합니다.
전철이 역의 홈(승강장)을 통과했을 때, 기차에 빨려 들어갈 수 있게 되는 것도 같은 원리 때문입니다. 즉, 속도가 빠를 경우 압력이 떨어지기 때문입니다.
여기서 압력에는 “정압” 과 “동압”이 있습니다.
동압이란 흐름에 따라 생기는 힘입니다. 예를 들면, 사람이 바람을 받을 때의 힘입니다.이 때, 바람의 속도가 빨라질수록 힘은 커집니다.
엄밀하게는, 이 때 받은 힘은 “동압” + “정압” 이 됩니다. 이것을 다음에 설명합니다.
관로를
흐르는 유체의 동압은 다음 그림과 같습니다.
동압은 흐름 방향에 대해 평행하게 가는 관을 장착하여 측정한 압력에서 “정압”이라 불리는 압력을 뺀 값입니다.
정압은 흐름 방향에 대해 직각으로 비운 가는 관 끝에 압력계를 설치하는 것으로 측정할 수 있습니다.
그리고 정압과 동압을 더한 압력을 “전압” (=전체압력) 이라고 부릅니다.
마찬가지로, 하류의 좁은 관로에서도 동압과 정압을 측정합니다.
질량유량의 “질량보존의 법칙”에서 처럼, 하류의 가는 관로의 유속은, 굵은 관로의 유속보다 빨라집니다.
첫머리에서 설명한, 사람이 바람을 받을 때의 힘에 대한 이야기를 기억해 주세요. 바람의 속도가 점점 빨라질수록 그 동압은 더욱 더 커지게 되었지요. 따라서 가는 관로(좁은 관로)의 동압은 굵은 관로의 동압보다 커집니다.
좁은 관로에서는 동압은 커졌지만, 그 만큼 정압은 작아지고 있습니다. 이는 “관로의 단면적이 변화해도 모든 위치에서 전압(전체압력)은 동일해진다”이기 때문입니다.
여기서, 베르누이의 정리를 이해하기 위해, 에너지에 대해 조금 해설하겠습니다.
에너지에는 다양한 형태가 있습니다.
위치 에너지
운동 에너지
탄성 에너지
열에너지
전기 에너지
등등...
에너지란, 바꾸어 말하면 「일을 하는 능력」을 의미하며, 이러한 에너지는, 서로 변환할 수 있습니다. 그리고 변환 전후의 에너지의 총합은 같아지게 됩니다.
이것을 「에너지보존의법칙」 이라고 합니다.
예를 들면, 높이 H의 위치에서 m [kg]의 공을 낙하시키는 경우를 생각해 봅시다.
우선, 평면 A 의 위치에서는, 공에 중력이 가해졌기 때문에 중력에 의해 일을 할 수 있는 에너지인 「위치에너지」가 존재합니다. 위치에너지(U)는, mgh 가 됩니다.
그 다음 기준 평면 O까지 공을 자유 낙하 시켰을 때, 공이 속도 v로 운동했다고 칩시다. 이 때, 처음에 가지고 있던 위치에너지가 운동에너지로 변환되는 것입니다.
그리고 운동에너지는
입니다.
즉, 공이 가지고 있던 위치에너지는 낙하함에 따라 감소하고, 기준 평면에 도달했을 때 위치에너지는 완전히 제로(0) 이 되고, 반대로 운동에너지가 증가하는 것입니다.
이게 에너지 보존의 법칙입니다.
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평면 A에서의 에너지의 총합 |
「운동에너지」＋「위치에너지」＝０＋mgh |
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기준 평면 O에서의 에너지 총합 |
「운동에너지」＋「위치에너지」＝1/2 mv^2＋０ |
평면A 에서의 에너지의 총합과 기준 평면O 에서의 에너지의 총합은 같기 때문에
라고 하는 겁니다.
이제 이 에너지 보존의 법칙을 좀 전의 관로의 흐름에 적응해 봅시다.
굵은 관로에서의 유체 속도 v1 [m/s], 압력 P1 [Pa], 높이 Z1 [m]로 하고,
좁은 관로에서의 유체 속도 v2 [m/s], 압력 P2 [Pa], 높이 Z2 [m]라고 했을 때,
에너지의 총합은, 굵은 관로와 가는 관로에서 동일합니다.
굵은 관로에서의 에너지 총합은 「압력에너지」+「속도에너지」+「위치에너지」가 되어
좁은 관로에서의 에너지의 총합은, 마찬가지로 「압력에너지」+「속도에너지」+「위치에너지」로 이루어져 있으며,
즉,
위의 식을 밀도로 나누면,
그리고, 물이 가지는 에너지를 물기둥의 높이[m]로 대체한 것을 「수두」라고 하며, 관로의 흐름을 수두로 나타내면 다음의 그림과 같습니다.
이상이 베르누이의 정리인데, 이 식이 성립되는 것은, 비점성, 비압축성의 이상 유체입니다. 이상 유체는 비압축성이기 때문에 밀도는 일정합니다.
또한 배관내에 마찰이 없고, 시간 변화가 없는 안정적인 흐름 이어야 합니다.
앞 부분에서의 「연속식」 과 「베르누이 식」은 이상 유체의 흐름을 파악하는 데에, 매우 편리한(유용한) 식입니다.
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